함수를 통한 가우시안 분포의 전파

어떤 랜덤 변수 $x$가 Gaussian이라 가정한다:

$x \sim N(\mu_x, \sigma_x^2)$.


이 때 $y=f(x)$라 하자. 변수 $y$도 가우시안으로 근사될 수 있다면

$y \sim N(\mu_y, \sigma_y^2)$

여기서,

$\mu_y = f(\mu_x)$

$\sigma_y^2=\begin{pmatrix}{df \over dx}\end{pmatrix}_{\mu_x}\sigma_x^2 \begin{pmatrix}{df \over dx}\end{pmatrix}_{\mu_x}$

이다.

위 식에서 만일 $f$가 $\mu_x$ 주위에서 선형이라면 $\left(df \over dx \right)$는 상수이고, $y$는 가우시안이다. 함수 $y$가 선형이되는 간격의 크기는 분포 $\sigma_x$에 달려 잇다. $\sigma_x$가 더 커지면 랜덤 변수 $x$의 넓은 범위를 포함하기 위해 간격 크기는 더 커져야 한다.

간격 크기가 랜덤 변수 $x$분포의 95%를 커버하게 한다면 [$\mu_x-2\sigma_x, \mu_x+2\sigma_x$]이다.  만일 함수 $f$가 이 간격 내에서 선형(1차 함수)이라면, 도함수는 이 간격 내에서 상수이다.   간격 주위에서 도함수를 분석하기 위해 1차 도함수에 대한 Taylor시리즈를 생각해 보면

${df \over dx}(\mu_x+\delta x) \approx\left.{df \over dx}\right|_{\mu_x}+\left.{d^2 f \over dx^2}\right|_{\mu_x} \delta x$

이다.
중심위치 $\mu_x$에서 1차 도함수의 값은 $\left.df \over dx\right|_{\mu_x}$이고,
간격의 양 극단 $\mu_x \pm 2\sigma_x$에서 도함수 값은

$\left.df \over dx\right|_{\mu_x} \pm \left.d^2 f \over dx^2\right|_{\mu_x}  2\sigma_x$

이다.
선형화의 정도를 나타내는 인덱스 값을 정의하자.

$L=\left|{ \left.{d^2 f \over dx^2}\right|_{\mu_x}  2\sigma_x \over  \left.{df \over dx}\right|_{\mu_x}}\right|$

분자, 분모 두 값의 비교는 무차원인 선형화 인덱스(linearity index)값으로 정의한다. 만일 $L\approx 0$이라면(즉, $f$의 1차 도함수가 상수라면 $L$의 분자에 있는 2차 도함수는 0이다) 이 함수는 간격 내에서 선형으로 생각할 수 있고, 함수를 통한 가우시안 성질은 보존된다.




References

[1] J. Civera, AJ Davison, Inverse depth to depth conversion for monocular slam, ieee icra'2007.
[2] Error propagation 요약 자료
[3] 발표 자료